Alternating Permutation

定义 Definition

交错排列 / 交替排列：在一个排列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 中，相邻元素大小关系交替变化，例如

• \(a_1a_3\cdots\)（“上-下”型 / up-down）或
• \(a_1>a_2a_4<\cdots\)（“下-上”型 / down-up）。
  该术语常见于组合数学中，也常被称为 zigzag permutation（之字形排列）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɔːl.tər.neɪ.tɪŋ ˌpɝː.mjuːˈteɪ.ʃən/

例句 Examples

An alternating permutation of 1 to 4 can be 2, 4, 1, 3.
1 到 4 的一个交错排列可以是 2, 4, 1, 3。

The number of alternating permutations is connected to Euler zigzag numbers and appears in enumerative combinatorics.
交错排列的数量与欧拉之字形数有关，并常出现在枚举组合学中。

词源 Etymology

alternating 来自拉丁语 alternare（“轮流、交替”），经由 alternate（交替的）发展而来；permutation 来自拉丁语 permutare（“交换、变换”）。合在一起字面意思就是“交替变化的排列”，对应其相邻大小关系一上一下（或一下上一上）交替的性质。

相关词 Related Words

• Zigzag Permutation
• Up-Down Permutation
• Permutation
• Combinatorics
• Euler Zigzag Number
• Descent
• Ascent
• Pattern Avoidance

文献作品 Notable Works

• Enumerative Combinatorics（Richard P. Stanley）：在枚举组合学语境中讨论交错排列及相关计数对象。
• Analytic Combinatorics（Philippe Flajolet & Robert Sedgewick）：在生成函数与经典计数例子中会涉及交错排列/之字形数相关主题。
• Combinatorial Analysis（Louis Comtet）：常见于经典组合计数材料中，与欧拉数列与相关计数问题并列出现。