Euler Zigzag Number

Definition / 释义

Euler zigzag number（欧拉“之”字形数）指一种重要的组合数学数列，用来计数交错排列（alternating permutations / up-down permutations）的个数：也就是排列中相邻元素大小关系一上一下交替（例如 \(a_1a_3\cdots\) 或 \(a_1>a_2\cdots\)）的排列数量。该数列也常与正割/正切生成函数相关联，在文献中还可见别名如 André numbers、up/down numbers。（不同书中对起始项与计数约定可能略有差异，但核心对象一致。）

Pronunciation / 发音（IPA）

/ˈɔɪlər ˈzɪɡzæɡ ˈnʌmbər/

Etymology / 词源

“Euler”来自18世纪数学家Leonhard Euler（欧拉）的姓氏；“zigzag”意为“之”字形、锯齿形，用来形象描述排列中“上上下下”交替的形态；“number”表示计数结果。该数在组合学中与交错排列的计数密切相关，19世纪数学家 Désiré André 对相关计数作过经典研究，因此也常被称为 André numbers。

Examples / 例句

The Euler zigzag number counts how many alternating permutations there are.
欧拉之字形数用来统计一共有多少个交错排列。

In analytic combinatorics, Euler zigzag numbers appear through generating functions related to secant and tangent.
在解析组合学中，欧拉之字形数会通过与正割和正切相关的生成函数出现。

Related Words / 相关词

• Alternating Permutation
• André Number
• Up-Down Number
• Secant Number
• Tangent Number
• Entringer Number
• Permutation
• Combinatorics
• Generating Function

In Literature / 文献与名著中的出现

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）——在讨论组合恒等式与生成函数时常提到交错排列与相关数列。
• Analytic Combinatorics（Flajolet & Sedgewick）——用生成函数与渐近分析框架处理此类经典计数对象。
• Enumerative Combinatorics（Richard P. Stanley）——在“排列的计数”相关章节中涉及交错排列及其计数数列。
• OEIS（如 A000111，常与 Euler zigzag / up-down numbers 关联）——作为该数列的权威索引与参考入口。