Up-Down Permutation

Definition / 定义

上下交替排列（又称“交错排列 / alternating permutation”）：一种排列，使得相邻元素的大小关系交替出现，例如
\(a_1 < a_2 > a_3 < a_4 > \cdots\)（或相反 \(a_1 > a_2 < a_3 > a_4 < \cdots\)）。
在组合数学中常与Euler zigzag numbers（欧拉之字形数）相关。

Pronunciation / 发音

/ˌʌp ˈdaʊn ˌpɝːmjuːˈteɪʃən/

Examples / 例句

An up-down permutation alternates between rising and falling values.
上下交替排列在数值上呈现“上升—下降—上升—下降”的交替模式。

In combinatorics, counting up-down permutations leads to the Euler zigzag numbers.
在组合数学中，对上下交替排列进行计数会得到欧拉之字形数。

Etymology / 词源

“up-down”直译为“上—下”，形象描述排列中相邻元素大小关系的交替起伏；“permutation”来自拉丁语 permutare（交换、变换），因此该术语合起来就是“按上下来回起伏规则排列的置换”。

Related Words / 相关词

• Alternating
• Permutation
• Zigzag
• Descent
• Ascent
• Combinatorics

Literary Works / 文学作品

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）——讨论交错/上下排列与相关计数（如欧拉数列）。
• Enumerative Combinatorics, Volume 1（Richard P. Stanley）——在计数型组合学语境中出现交错排列与相关生成函数/数列。
• generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）——涉及用生成函数处理包含交错排列在内的计数问题。