Tangent Numbers

释义 Definition

正切数（tangent numbers）：一列与函数 tan(x) 的幂级数展开密切相关的整数序列，出现在
\[ \tan(x)=\sum_{n\ge 1} T_n \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \] 其中 \(T_n\) 就称为正切数。它们也常在组合数学中出现，用来计数某些“交错（up-down）排列”等结构。（在不同书中也可能与 Euler numbers / zig numbers 等名称关联或有记号差异。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈtændʒənt ˈnʌmbərz/

例句 Examples

Tangent numbers appear in the series expansion of tan(x).
正切数出现在 tan(x) 的级数展开中。

In combinatorics, tangent numbers can be used to count certain alternating permutations, linking trigonometric series to discrete structures.
在组合数学中，正切数可用于计数某些交错排列，把三角函数级数与离散结构联系起来。

词源 Etymology

tangent 来自拉丁语 tangere（“触碰”），原意与“相切”相关；number(s) 来自拉丁语 numerus（“数”）。术语 tangent numbers 的命名直接源于它们作为 tan(x) 泰勒（麦克劳林）展开系数所对应的一组“数”。

相关词 Related Words

• Alternating
• Combinatorics
• Euler Numbers
• Generating Function
• Maclaurin Series
• Secant Numbers
• Taylor Series
• Tangent

文学与经典著作 Literary Works

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）：在讨论生成函数与相关数列时涉及正切数/欧拉数等。
• Generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）：在生成函数框架下提及与 tan(x) 展开相关的经典数列。
• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：在三角函数与级数展开条目中可见相关系数与数列的讨论。