Euler Zigzag Numbers

释义 Definition（中文）

欧拉锯齿数（Euler zigzag numbers）是组合数学中的一列整数，用来计数“交错排列/上下排列”（alternating permutations）的个数：即一个排列的相邻元素大小关系交替变化（如 \(a_1a_3< a_4>\cdots\) 或 \(a_1>a_2\cdots\)）。它们也常与 \(\sec x\) 与 \(\tan x\) 的幂级数展开联系在一起（例如生成函数 \(\sec x+\tan x\)）。

发音 Pronunciation（IPA）

/ˈɔɪlər ˈzɪɡzæɡ ˈnʌmbərz/

例句 Examples

Euler zigzag numbers count how many alternating permutations there are of size \(n\).
欧拉锯齿数用来计算长度为 \(n\) 的交错排列有多少个。

Using the generating function \(\sec x+\tan x\), we can derive Euler zigzag numbers and connect them to alternating permutation statistics.
利用生成函数 \(\sec x+\tan x\)，我们可以推导出欧拉锯齿数，并把它与交错排列的统计性质联系起来。

词源 Etymology（中文）

“Euler”来自数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），他研究了与 \(\sec x\)、\(\tan x\) 的级数展开相关的系数；“zigzag”字面意思是“之”字形/锯齿形，用来形象描述排列中“上、下、上、下”交替的模式，因此该数列被称为“欧拉锯齿数”。

相关词 Related Words

• Alternating Permutations
• Up-Down Numbers
• Entringer Numbers
• Secant Numbers
• Tangent Numbers
• Generating Function
• Permutation

文学与名著用例 Literary Works（出现来源）

• Leonhard Euler：Introductio in analysin infinitorum（《无穷分析引论》，1748；涉及相关三角函数级数思想）
• Graham, Knuth, Patashnik：Concrete Mathematics（《具体数学》；讨论交错排列与相关数列）
• Richard P. Stanley：Enumerative Combinatorics（《枚举组合数学》；收录并系统讨论该类计数）
• Flajolet & Sedgewick：Analytic Combinatorics（《解析组合学》；以生成函数视角处理相关数列）
• OEIS：A000111（Euler zigzag numbers / up-down numbers 的权威数列条目）