以下截图出自《数学分析新讲》第一册 P114 。问题在截图下方
证明过程中通过不断缩小无界闭区间套，已经导出了在 U(c,η)内有界了。而 U(c,η)又是包含在不断缩小的闭区间套[an,bn]中，自然包括在区间[a,b]内的。那么此时已经出现了矛盾。因此连续函数在区间[a,b]就不可能无界了。
后面为什么还要进一步在 U(c,η)内寻找闭区间套[am,bm]来证明矛盾呢？
此外，如果我用上面的证明逻辑来证明连续函数在开区间(a,b)有界，会在哪一步失败呢？（我知道这个命题不成立，因为 y=1/x 可以证否该命题。但是我想通过该命题进一步理解书中证明方法！）
请不要提供 gpt 的回答，十分感谢！
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Rang666 Feb 6, 2025 via Android
你这只是证了 u 在 ab 区间内，不代表有一个更小的 ab 区间能嵌在 u 内，还有就是你能证明无限多个 u 一定能覆盖住最大的 ab 区间吗
对你后面给的那个你 u 有界也没法覆盖到 0 不是 |
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huzhikuizainali OP @Rang666 U 是层层缩小的闭区间套筛选出来的“无界”区间，在 U(c,η)属于[a,b]，同时 U(c,η)既有界又无界已经足够到处矛盾了吧？
我不太明白你说的“不代表有一个更小的 ab 区间能嵌在 u 内”的意思。----为什么要找一个更小的 ab 区间嵌在 u 内？这么做的目的是什么？ 还有，似乎不需要“证明无限多个 u 一定能覆盖住最大的 ab 区间”，因为哪些被筛选掉的区间，已经是有界区间了！因此才被筛选掉 “u 有界也没法覆盖到 0 不是”。我不明白覆盖到 0 是什么意思？为什么要覆盖到 0 ？ |
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Rang666 Feb 6, 2025 via Android
@huzhikuizainali 筛选掉的不一定是有界的，至少有一个是无界的（证明第 4 行）
U 是有界的不能证明 U 外面就是无界或有界的，只能证明 U 内部肯定是有界的，所以必须要有一个更小的区间在 U 里面达成矛盾，前面的证明只是说有这么一个 U 存在，但是不能说明 ab 能精确到 U 内部，所以要构建出来能达到 U 内部的 U 覆盖到 0 那块是说你在 1/x 那个，U 永远有界，但是要在连续的闭区间内，0 不可能在 U 里面，你那个开区间就有可能是无界的，因为不连续了或者没定义了，没法说 U(0,delta)是有界的 |
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huzhikuizainali OP @Rang666 谢谢你的回复
筛选掉的不一定是有界的，至少有一个是无界的（证明第 4 行） U 是有界的不能证明 U 外面就是无界或有界的，----------同意你的说法。可以套用以上证明逻辑对每个闭区间套的“分支”进行证明。最终可以证明点 c1 ，c2 c3…………的邻域内都是有界的。最终证明[a,b]都是有界的。 只能证明 U 内部肯定是有界的，所以必须要有一个更小的区间在 U 里面达成矛盾，前面的证明只是说有这么一个 U 存在，但是不能说明 ab 能精确到 U 内部，所以要构建出来能达到 U 内部的-----------这个没理解你因果逻辑。为什么“只能……肯定是有界的” ，导出“所以……达成矛盾”？ |
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Rang666 Feb 6, 2025 via Android
@huzhikuizainali U 是根据上面推出来存在这么一个区间是有界的，但是 U 在 ab 里面，假设是 an bn ，你不能保证[an bn]/U 是有界的，就还没达成矛盾，但是如果有这么一个[am bm]在 U 里面，然后根据构建[am bm]是无界的，但是 U 又是有界的，就达成矛盾了
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lance6716 Feb 7, 2025 via Android
个人感觉你对这里的疑惑，跟 https://www.v2ex.com/t/1103316?p=1#reply6 是一样的。你不理解的点就是截图的第一段，局部性质 vs 整体性质。截图中的证明用到了邻域连续和有界，是一个局部性质。要证的有界是整体性质。从整体到局部的过渡可以使用区间套。
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lance6716 Feb 7, 2025 via Android
> U 是层层缩小的闭区间套筛选出来的“无界”区间，在 U(c,η)属于[a,b]，同时 U(c,η)既有界又无界已经足够到处矛盾了吧？
邻域 U 是从点 C 得到的，跟区间 ab 没有直接关系。截图中的取 m 是一种让它们建立联系的办法。先建立联系，才能发现矛盾 |
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zizon Feb 7, 2025
1. c 连续推出 U 有界是根据最开始的命题.
2. 此时只证明了 c 同时是一个有界区间和无界区间的点,并不证明 c yita 属于这个无界集合. 3. 后续的 m 推导是利用这 c 和 yita 这个有界区间 内 存在前述的一个无界区间. 也就是 f [a_m,b_m] unbounded 的同时,又<=K bounded |
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necomancer Feb 11, 2025
“而 U(c,η)又是包含在不断缩小的闭区间套[an,bn]中”，这句话不对。没有任何地方说了这个结论，这个是你自己理解错了。
开区间不行是因为闭区间套定理，简单说就是[an,bn]当 an,bn 同极限的时候，这个闭区间套最后就是这个极限。形象理解一下的话就是开区间不行，比如 (0,1/2^n)，这个东西到最后是空集。[0,1/2^n]最后是 0 。带到证明过程里就是开区间没有那个 c 了。 |
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huzhikuizainali OP @necomancer 谢谢你的回复。我说一下我的想法，烦请你指出哪里错了。
1 ，而 U(c,η)又是包含在不断缩小的闭区间套[an,bn]中———这句话我说的确实不对。 2 ，证明过程确实使用了闭区间套！但是闭区间套作为工具仅限于根据初始假设找到无界点 c 。找到点 c 以后，我认为闭区间套的任务就完成了。 3 ，当证明过程说出“因为函数 f 在点 c 连续”这句话时。根据连续函数局部有界性，函数在 U(c,η)有界——>函数在点 c 有界。这与闭区间套推出在点 c 无界矛盾。证毕。 |
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yxd19 Feb 21, 2025
@huzhikuizainali 在一个点上无界是什么意思？没有这样的定义吧。闭区间套推出的只有「存在任意短的覆盖点 c 的区间，f 在这个区间上无界」，这也就是后面所说的在 U(c, eta)内部找[a_m, b_m]的过程。
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