Total Function

定义 Definition

在数学与计算机科学中，“total function（全函数）”指对其定义域中的每一个输入都能给出一个确定输出的函数（不会“没结果”、不会不终止）。相对地，可能对某些输入无定义或不返回结果的称为 partial function（偏函数/部分函数）。

发音 Pronunciation

/ˈtoʊtəl ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

A total function returns an output for every input in its domain.
全函数会对其定义域中的每一个输入都返回一个输出。

In formal verification, proving a program implements a total function helps ensure it never crashes or loops forever on valid inputs.
在形式化验证中，证明一个程序实现的是全函数，有助于确保它对有效输入不会崩溃，也不会陷入无限循环。

词源 Etymology

Total 来自拉丁语 totus（“全部的、完整的”），强调“对所有输入都覆盖”。Function 源自拉丁语 functio（“执行、运作”）。合起来的术语在现代数学与理论计算机科学中用于区分“处处有定义”的函数与“可能无定义/不终止”的函数。

相关词 Related Words

• Total
• Function
• Partial Function
• Domain
• Codomain
• Well-defined
• Termination
• Totality

文学与经典著作 Literary Works

• **Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation**（讨论可计算性与部分/全函数等相关概念）
• **Benjamin C. Pierce, Types and Programming Languages**（在类型系统语境中常涉及“函数是否总能返回”的总性思想）
• **Henk Barendregt, The Lambda Calculus: Its Syntax and Semantics**（在λ演算与可定义性讨论中会涉及偏函数与总性相关表述）
• **Robert I. Soare, Recursively Enumerable Sets and Degrees**（递归论中常以“全递归函数/部分递归函数”区分）