Appell Sequence

定义 Definition

Appell sequence（阿佩尔序列）指一类多项式序列 \(\{P_n(x)\}_{n\ge0}\)，满足典型性质
\[ \frac{d}{dx}P_n(x)=n\,P_{n-1}(x). \] 它常用生成函数来刻画：存在某个形式幂级数 \(A(t)\) 使
\[ \sum_{n\ge0} P_n(x)\frac{t^n}{n!}=A(t)e^{xt}. \] （注：在组合数学/“微积分—生成函数”语境中很常见；也可视为 Sheffer 序列的一种特殊情形。）

发音 Pronunciation

/əˈpɛl ˈsiːkwəns/

例句 Examples

An Appell sequence is defined by the derivative rule \(P_n'(x)=nP_{n-1}(x)\).
阿佩尔序列通常由导数关系 \(P_n'(x)=nP_{n-1}(x)\) 来定义。

Using the exponential generating function \(A(t)e^{xt}\), we can derive recurrence relations for an Appell sequence and compute its coefficients efficiently.
利用指数型生成函数 \(A(t)e^{xt}\)，我们可以推出阿佩尔序列的递推关系，并高效计算其系数。

词源 Etymology

Appell来自法国数学家 Paul Émile Appell（保罗·埃米尔·阿佩尔，1855–1930）的姓氏；“Appell sequence”因他在相关多项式与生成函数理论中的工作而得名。

相关词 Related Words

• Appell Polynomial
• Sheffer Sequence
• Bernoulli Polynomial
• Euler Polynomial
• Generating Function
• Umbral Calculus

文学与经典著作 Literary Works

• The Umbral Calculus（Steven Roman）——讨论 Sheffer/ Appell 多项式与算子方法。
• Generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）——在生成函数框架下涉及此类多项式序列的思想与例子。
• Special Functions（George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy）——在特殊函数与多项式体系中提及相关结构与推广。